Először nézzük meg mit is takar maga a fogalom:

1. A halmazok megadása

1. elemek felsorolásával (az összes elemet felsorolom, vagy legalább annyit, hogy az alapján következtetni lehessen a többi elemre); például $A:=\{1,2,4,7,14,28\}$.
2. a halmaz elemeire jellemző tulajdonság megadásával; pl.: A:={28 pozitív osztói}.
3. jellel; pl.: $\mathbb{N}; \mathbb{Z}; \mathbb{Q}; \mathbb{R}$

(A jegyzetben $\mathbb{R}$ jelöli a valós számok halmazát, $\mathbb{N}$ a természetes számok halmazát)

A halmazokat mindig nagybetűvel jelöljük. Az elemeket { } zárójelbe tesszük. Ha egy adott a elem benne van az A halmazban, akkor a következőképpen jelöljük: $a \notin A$ ; ha nincs benne a halmazban: $a \in A$.

2. Műveletek

Jelöljük H-val az ún. alaphalmazt legyen adott két tetszőleges halmaz: A és B, amelyek elemei a H halmaz elemei közül kerülnek ki.

Unióképzés (halmazok egyesítése): Két halmaz (A és B) uniója azon elemek összessége, amelyek az vagy A-ban, vagy B-ben legalább az egyikben benne vannak.
Jelölése: $A \cup B$

Metszetképzés (halmazok közös része): Két halmaz (A és B) metszete azon elemek összessége, amelyek A-ban és B-ben is benne vannak.
Jelölése: $A \cap B$

Különbségképzés: Két halmaz (A és B) különbsége azon elemek összessége, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem.
Jelölése: A \ B

Részhalmaz: Az A halmaznak a B halmaz részhalmaza, ha B valamennyi eleme A-nak is eleme.
Jelölése: $A \supseteq B$ (vagy $B \subseteq A$)

Valódi részhalmaz: Az A halmaznak a B halmaz valódi részhalmaza, ha B valamennyi eleme A-nak is eleme, de A-nak van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme B-nek.
Jelölése:$A \supset B$ (vagy $B \subset A$)
Ha ez nem teljesül, azaz B nem valódi részhalmaza A-nak, akkor azt így jelöljük:


Komplementerképzés: Egy adott A halmaz komplementerbe azok a H-beli elemek tartoznak bele, amelyek A-nak nem elemei, az H\A halmaz vagy alaphalmaz.
Jelölése:$\overline{A}$

Üreshalmaz: az a halmaz, amelynek nincs eleme.
Jelölése:  $\emptyset$

Direkt (Descartes) szorzat: A és B direkt szorzatának eredményeképpen olyan számpárokat kapunk, amelyeknek első tagja A-nak eleme, második tagja B-nek eleme.
Jelölés: $(a;b) \in A \times B$, ahol $a \in A$ és $b \in B$

3. Tulajdonságok

Tetszőleges A halmazra érvényesek a következők:

• A halmaz elemei mind különbözőek. (Nincs két azonos eleme.)
• Nincs az elemek között rendezettség, azaz nem képezünk sorrendet az elemek között.