Halmazok

Először nézzük meg mit is takar maga a fogalom:

Halmaz: elemek összessége (a halmazt magát nemigen szokás definiálni, mivel a matematikában alapfogalomként kezelik).


1. A halmazok megadása

Halmazok megadására többféle módszer létezik, a jegyzetben a következőkkel találkozhat:

  1. elemek felsorolásával (az összes elemet felsorolom, vagy legalább annyit, hogy az alapján következtetni lehessen a többi elemre); például A:=\{1,2,4,7,14,28\}.
  2. a halmaz elemeire jellemző tulajdonság megadásával; pl.: A:={28 pozitív osztói}.
  3. jellel; pl.: \mathbb{N}; \mathbb{Z}; \mathbb{Q}; \mathbb{R}

(A jegyzetben \mathbb{R} jelöli a valós számok halmazát, \mathbb{N} a természetes számok halmazát)

A halmazokat mindig nagybetűvel jelöljük. Az elemeket { } zárójelbe tesszük. Ha egy adott a elem benne van az A halmazban, akkor a következőképpen jelöljük: a \notin A ; ha nincs benne a halmazban: a \in A.

2. Műveletek

Jelöljük H-val az ún. alaphalmazt legyen adott két tetszőleges halmaz: A és B, amelyek elemei a H halmaz elemei közül kerülnek ki.

Unióképzés (halmazok egyesítése): Két halmaz (A és B) uniója azon elemek összessége, amelyek az vagy A-ban, vagy B-ben legalább az egyikben benne vannak.
Jelölése: A \cup B

Metszetképzés (halmazok közös része): Két halmaz (A és B) metszete azon elemek összessége, amelyek A-ban és B-ben is benne vannak.
Jelölése: A \cap B

Különbségképzés: Két halmaz (A és B) különbsége azon elemek összessége, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem.
Jelölése: A \ B

Részhalmaz: Az A halmaznak a B halmaz részhalmaza, ha B valamennyi eleme A-nak is eleme.
Jelölése: A \supseteq B (vagy B \subseteq A)

Valódi részhalmaz: Az A halmaznak a B halmaz valódi részhalmaza, ha B valamennyi eleme A-nak is eleme, de A-nak van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme B-nek.
Jelölése:A \supset B (vagy B \subset A)
Ha ez nem teljesül, azaz B nem valódi részhalmaza A-nak, akkor azt így jelöljük: b_a


Komplementerképzés: Egy adott A halmaz komplementerbe azok a H-beli elemek tartoznak bele, amelyek A-nak nem elemei, az H\A halmaz vagy alaphalmaz.
Jelölése:\overline{A}

Üreshalmaz: az a halmaz, amelynek nincs eleme.
Jelölése:  \emptyset

Direkt (Descartes) szorzat: A és B direkt szorzatának eredményeképpen olyan számpárokat kapunk, amelyeknek első tagja A-nak eleme, második tagja B-nek eleme.
Jelölés: (a;b) \in A \times B, ahol a \in A és b \in B


Halmazműveletek (nagyítva)

3. Tulajdonságok

Tetszőleges A halmazra érvényesek a következők:

1_1

Fontos!!!
  • A halmaz elemei mind különbözőek. (Nincs két azonos eleme.)
  • Nincs az elemek között rendezettség, azaz nem képezünk sorrendet az elemek között.


Utolsó módosítás: 2014. augusztus 4., hétfő, 23:12